Ing. Energias Renovables: Algebra Lineal

Historia del Algebra Lineal

1 Introducción

Mediante este trabajo se verán los principios básicos del algebra y de vectores así como sus características propios de cada uno. De igual forma se buscara tener la comprensión y la capacidad para entender cada uno de sus componentes y saber analizar para darles su debida aplicación en el campo de la materia de energías renovables. Para empezar con todo esto mencionado abordaremos desde los principios básicos y su historia de estas ramas de las matemáticas, logrando al final poder tener vastos conocimientos y completo dominio del mismo.

Desde tiempos remotos, y como parte esencial de su propio desarrollo evolutivo, el hombre ha procurado entender los diferentes aspectos que forman parte de su vida cotidiana. Para ello ha procurado disponer de herramientas que le permitan no solo poder cazar y recolectar con mayor ciencia, sino también poder medir longitudes, ordenar y contar objetos, o reconocer fenómenos periódicos de la naturaleza. Como parte de este proceso de elaboración, el hombre ha construido modelos que le han facilitado la tarea de resolver problemas concretos o que le han ayudado a encontrar una solución al problema específico que lo afecta. Todo esto con el propósito de favorecer tanto su forma de vida como la de los miembros de su comunidad. Muchos de estos problemas tienen un carácter lineal, es decir, pueden plantearse mediante algunas ecuaciones lineales con cocientes en algún campo de números y con unas pocas variables o incógnitas. Recordemos que la palabra ecuación proviene del latín aequatio que significa igualdad. Así, una ecuación es una igualdad que contiene algunas cantidades desconocidas. En particular, una ecuación lineales una ecuación de la forma

a1x1 + a2x2 + ¢ ¢ ¢ + anxn = b

(1)donde a1; a2; : : : ;

an son los coeficientes, x1; x2; : : : ;

xn las variables o incógnitas y b el término constante.

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto infinito de ecuaciones lineales.

Problemas tan amplios como la distribución de cosechas o el presupuesto de un país, el cálculo de la órbita de un asteroide (o de un planeta) y el cálculo de la estabilidad estructural de un edificio en ingeniería civil, entre muchos otros, pueden plantearse en términos de sistemas de ecuaciones lineales para obtener su solución.

El presente trabajo ha sido dividido atendiendo a criterios temáticos masque cronológicos, brindándole un mayor valor a las ideas que a las fechas. Así, en la sección 1 se incluyen algunos antecedentes históricos de los sistemas de ecuaciones lineales de la mano de matemáticos babilonios y chinos. En la sección 2 se incluyen algunas notas sucintas sobre la aparición del sistema de los números complejos con Cardano y las distintas demostraciones del teorema fundamental del algebra por parte de D'Alembert, Euler, Frontenex, Lagrangey Gauss. En la sección 3 se tratan los inicios de la noción de vector y espacio vectorial. La sección 4 incluye las fuentes del algebra de matrices, destacándolos aportes de Cayley, Sylvester, Hamilton y Cauchy, entre otros.

2.-Antecedentes históricos

Los primeros rudimentos de lo que hoy conocemos como Algebra lineal se han encontrado en el documento matemático más antiguo que ha llegado hasta nuestros días: el papiro Rhind, conservado en el British Museum con algunos fragmentos en el Brooklyn Museum, y conocido también como el Libro de Cálculo, el cual fue escrito por el sacerdote egipcio Ahmes hacia el año

1650 a.C. y exhumado en Tebas en 1855. En este valioso documento se consideran las ecuaciones de primer grado, donde la incógnita aparece representada por un \ibis" que significa escarbando en el suelo, posiblemente por su primogénita aplicación a la agrimensura. Este documento contiene 85 problemas redactados en escritura hierática y fue concebido originalmente como un manual práctico para los no iniciados. Según el propio

Ahmes, este texto es una copia de uno más antiguo (2000-1800 a.C.), algunos de cuyos documentos proceden quizá de periodos más antiguos.

Los babilonios sabían como resolver problemas concretos que involucraban ecuaciones de primer y segundo grado, usando completacion de cuadrados o sustitución, así como también ecuaciones cúbicas y bicuadráticas, y sistemas de ecuaciones lineales y no lineales tales como:

x § y = a

x2 § y2 = b

;

x § y = a

xy = b

ax + y + cz = d

mx + ny + p = h

rx + sy + qz = 0:

Por su parte, los matemáticos chinos durante los siglos III y

IV a.C. continuaron la tradición de los babilonios y nos legaron los primeros métodos del pensamiento lineal. Por ejemplo, en el tratado Nueve capítulos sobre el Arte Matemático, publicado durante la Dinastía Han, aparece el siguiente sistema lineal:

3x + 2y + z = 39

2x + 3y + z = 34

x + 2y + 3z = 26

Así como un método para su resolución, conocido como la regla “fan-chen", la cual, en esencia, es el conocido método de eliminación gaussiana de nuestros días. Es interesante recordar el problema que dio origen a este sistema lineal, el cual es similar al planteado por los babilonios:

\Hay tres clases de granos; tres gavillas de primera clase, dos de la segunda clase y una de la tercera hacen 39 medidas; dos de la primera, tres de la segunda y una de la tercera hacen 34 medidas; y una de la primera, dos de segunda y tres de la tercera hacen 26 medidas. >Cuántas medidas de granos están contenidas en una gavilla de cada clase?"

Esta obra Nueve capítulos sobre el Arte Matemático fue compuesta por el hombre de estado y científico Chuan Tsanom en el año 152 a.C. y en él se incluyeron sistemáticamente todos los conocimientos matemáticos de la época. Es oportuno recordar que esta obra fue consultada por

Carl Friederich Gauss (1777-1855) en un estudio sobre la órbita del asteroide

Pallas. Usando observaciones de Pallas, tomadas entre los años 1803 y

1809, Gauss obtiene un sistema de seis ecuaciones lineales en seis incógnitas y día un método sistemático para resolver tales ecuaciones, hoy día conocido como eliminación gaussiana.

Luego vendrían los aportes de los matemáticos islámicos y europeos, quienes siguieron cultivando el pensamiento lineal. Por ejemplo, Leonardo de Pisa

(1180-1250), mejor conocido como Fibonacci, en su obra Liber Quadratorum

Historia del Algebra Lineal hasta los Albores del Siglo XX 157m publicada en 1225, estudió el sistema no lineal:

x2 + a = y2

x2 ¡ a = z2;

El cual es una generalización de un problema que le había propuesto Giovanni da Palermo (con a = 5). Los matemáticos griegos, por su parte, no se preocuparon por los problemas lineales, a pesar de poseer un reconocido pensamiento lineal en sus consideraciones geométricas de origen pitagórico y de reminiscencias babilonias. No obstante, en sus trabajos se aprecian algunas tentativas del análisis diofiantico, especialmente en el estudio de las magnitudes, y las propiedades aritméticas de los números enteros. No olvidemos que la solución general de la ecuación de segundo grado aparece en los Elementos de Euclides.

3 Génesis de los números complejos y raíces de

Polinomios

Dos eventos cruciales en el desarrollo del algebra lineal son: el descubrimiento del sistema de los números complejos, como una extensión del sistema R formado por los números reales, junto con las operaciones usuales de sumas y multiplicación, y la primera prueba del llamado teorema fundamental del algebra, el cual arma que cada polinomio no constante con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja. Es bien conocido que este teorema es equivalente a que cada polinomio no constante con coeficientes reales puede ser factorizado en un producto de factores lineales y cuadráticos. Sobre este último resultado, el plural genio de Gauss le brindaría tal importancia que llegaría a ofrecer hasta cuatro demostraciones, siendo la primera de estas su tesis doctoral de 1799, aunque se sabe que el conocía la prueba desde octubre de 1797. La segunda y tercera prueba fueron publicadas en 1816 y la cuarta en 1849.

Según B.L. van der Waerden el precursor de los números complejos fue el doctor en medicina, astrólogo, filósofo y matemático Milanés Girolamo Cardano (1501-1576), por ser este el primero en considerar expresiones de la forma a+p ¡b con a; b 2 R. En un contexto históricamente referido como pugnas entre Niccolµo Tartaglia (1499-1557) y Cardano por la prioridad, y consecuente autoría, en la solución de la ecuación de tercer grado

x3 + px = q con p; q 2 R; (2)

Surge una solución de Cardano, la cual le había sido sugerida por Tartaglia tal como el propio Cardano lo reconociera en su libro Ars Magna publicado en 1545. Esta solución involucra la raíz cuadrada de la expresión (13 q)2 ¡ (13p)2, la cual puede ser negativa. Estos casos son llamados casus irreducibilis por Cardano y en su Ars Magna muestra un método para obtener las soluciones de la ecuación. Así, los casus irreducibilis de Cardano son los números imaginarios de nuestros días y dieron origen a un nuevo sistema de números que extiende el de los números reales.

Para ilustrar el impacto de esta novedosa idea, Cardano en el Capitulo

37 de su Ars Magna plantea el siguiente problema:

\Dividir 10 en dos partes tales que su producto sea igual a 40." Al respecto, el escribió:

\Es claro que este caso es imposible. No obstante, nosotros trabajamos así:

Dividimos 10 en dos partes iguales, haciendo cada una de 5. Estas las elevamos al cuadrado, para formar 25. Sustraer 40 de los 25 así producidos, tal como se prueba en el capítulo sobre operaciones en el libro sesto, dejando un resto de -15, la raíz cuadrada del cual sumada a lo sustraída de 5 da las partes del producto el cual es 40. Estas serían 5 +p¡15 y 5 ¡p ¡15."

Acto seguido, Cardano verifica que estos dos números satisfacen las condiciones requeridas.

El problema de hallar las raíces de un polinomio con coeficientes rea- les ocupó gran parte de la atención de los matemáticos desde los árabes en la antigüedad, quienes usaron métodos aritmetico-geometricos, pasando por los griegos (especialmente los pitagóricos y euclidianos) y sus razonamientos geométricos hasta llegar al siglo XVIII de nuestra era con la solución general de las ecuaciones de tercer y cuarto grado, la imposibilidad de resolver la ecuación de quinto grado usando radicales (como en el caso de sus predecesores) y la demostración del teorema fundamental del algebra. Recordemos que el descubrimiento del número p 2 fue tratado con suma cautela por los pitagóricos, por razones de tipo místico, debido a que este no es un número racional (i.e., una razón entre dos números enteros) y a pesar de ser una solución de la ecuación x2 = 12 + 12 = 2 que representa, según el conocido teorema de Pitágoras, la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo con catetos iguales y de longitud 1.

Las soluciones de las ecuaciones de tercer y cuarto grado fueron obtenidas por matemáticos italianos del siglo XVI, a saber: Scipione del Ferro (1465-1526), Tartaglia y Cardano para la ecuación de tercer grado y Ludovico Ferrari (1522-1565), amigo y secretario de Cardano, para la ecuación de cuarto grado. Asimismo, la solución de las ecuaciones de quinto grado fue lograda por

Charles Hermite (1822-1901) y Leopold Kronecker (1823-1891) a mediados d siglo XIX. Por otra parte, la imposibilidad de resolver por radicales las ecuaciones de grado mayor o igual a 5 se conocen como el teorema de Abel, en honor al matemático noruego Niels Henrik Abel (1802-1829), cuyo periodo vital, a pesar de su brevedad, dejo honda huella en la Matemático.

Sobre el teorema fundamental del algebra, antes de la disertación doctoral de Gauss en 1799, ya se conocían otras cuatro pruebas de este importante resultado, dadas por: Jean Le Rond D'Alembert (1717-1783), Leonhard Euler (1707-1783), Frontenex y Joseph Louis Lagrange (1736-1813). Sin embargo, en cada una de estas pruebas se asume la existencia de raíces del polinomio dado en algún sentido y luego se prueba que estas son números complejos. Esta es la principal objeción que planteó Gauss a estas demostraciones, entre algunas otras. Algunos detalles sobre las primeras tres pruebas dadas por Gauss al teorema fundamental del algebra aparecen en.

4 Lenguaje de vectores

El álgebra lineal tuvo un fuerte impulso gracias al estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, tal como señalamos, y más recientemente, con los sistemas de ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones. En ambos contextos subyacen los importantes conceptos de vector y espacio vectorial.

A finales del siglo XVII fueron redescubiertas y desarrolladas las ideas originales de los babilonios, y principalmente de los chinos, sobre el pensamiento lineal. Recordemos que hasta el siglo XVIII el álgebra era, esencialmente, el arte de resolver ecuaciones de grado arbitrario. El matemático y filósofo francés, y uno de los iniciadores de la Enciclopedia, D'Alembert descubre que las soluciones de un sistema Ax = b forman una variedad lineal. Asimismo, Euler,

Lagrange y el propio D'Alembert se dan cuenta que la solución general del sistema homogéneo

Ax = 0 es una combinación lineal de algunas soluciones particulares.

En 1843, el matemático irlandés Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) descubre los Quaternions como el primer y único anillo de división no conmutativo sobre los números reales, la unicidad fue probada por Georg

Frobenius (1849-1917) en 1879.

Años antes, en 1863, Karl Weierstrass (1815-1897) había probado que el cuerpo de los números complejos es el único cuerpo conmutativo sobre los números reales ([40]).

En esa época aparecen con Hamilton, Arthur Cayley (1821-1895) y Hermann GÄunther Grassmann (1809-1877) las nociones de vector y de espacio vectorial, como una axiomatización de la idea de “vector" manejada por los estudiosos de la Mecánica desde fines del siglo XVII, un hecho que representó la génesis del Cálculo vectorial y de la Matemático moderna. Además, considerado el maestro del algebra lineal, Grassmann introduce el producto geométrico y lineal, siendo el primero de estos equivalente a nuestro producto vectorial. Asimismo, introduce las nociones de independencia lineal de un con- junto de vectores, así como el de dimensión de un espacio vectorial, y prueba la clásica identidad:

dim(U +W) = dim(U) + dim(W) ¡ dim(U \W) para cada par de subespacios U y W de un espacio vectorial.

5 Algebra de matrices

El primero en usar el término “matriz" fue el matemático ingles James Joseph Sylvester (1814-1897) en 1850 ([35]), quien definió una matriz como un “oblong arrangement of terms" (arreglo cuadrilongo de términos). A su regreso a Inglaterra en 1851, luego de un periodo migratorio en América, Sylvester establece contacto con Cayley, un joven abogado quien compartía su interés por la matemática y que pronto se dedicaría exclusivamente a ella. Cayley rápidamente entendería la importancia del concepto de matriz y por el año de 1853 publica una nota en donde aparece por vez primera la inversa de una matriz. Más tarde, en 1858, publica su Memoir on the theory of matrices, la cual contiene la primera definición abstracta de matriz y donde se muestra que los arreglos de coeficientes estudiados anteriormente para las formas cuadráticas y las transformaciones lineales son casos especiales de este concepto general. Asimismo, Cayley desarrolla el álgebra matricial definiendo las operaciones básicas de suma, multiplicación y multiplicación por escalares, así como la inversa de una matriz invertible, junto con una construcción de la inversa de una matriz invertible en términos de su determinante y prueba que, en el caso de matrices 2 £ 2, una matriz satisface su propia ecuación característica. Además, señala que tiene chequeado este resultado para matrices, indicando su demostración, pero afirma: \I have not thought it necessary to undertake the labour of a formal proof of the theorem in the general case of a matrix of any degree".

En 1870, el matemático francés Camille Jordan (1838-1922) publica su

Traite des substitutions et des equations algebriques, en donde estudia una forma canónica para sustituciones lineales sobre cuerpos ¯nitos de orden primo. En este contexto aparece por vez primera lo que hoy conocemos como la forma canónica de Jordán. Una presentación clásica de este importante resultado sobre un cuerpo arbitrario.

Arthur Cayley es considerado como el fundador de la teoría de matrices, aunque históricamente fueron los matemáticos chinos los pioneros en esta materia y el término matriz es debido a Sylvester. Uno de los principales méritos de Cayley fue la introducción de las operaciones básicas de suma y multiplicación de matrices, aunque indicios de estas ya aparecen en trabajos anteriores de Euler, Lagrange y Gauss. Cayley probó además que la multiplicación de matrices es asociativa e introduce las potencias de una matriz, así como las matrices simétricas y anti simétricas. Por tanto, siendo fiel a la Historia de la matemática, Cayley merece ser considerado como el fundador del algebra de matrices.

6 Los orígenes del determinante

Cardano en su Ars Magna, muestra una regla para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, a la cual llama regula de modo y que, esencialmente, es la conocida regla de Cramer para resolver sistemas lineales 2 £ 2. Sin embargo, a pesar de que Cardano no ofrece una definición formal del determinante, y con la ventaja del tiempo a su favor, en su método se pueden apreciar las primeras luces en esta dirección.

Tal como se apuntó antes, los inicios de la teoría de determinantes de matrices datan del siglo II a.C. con los matemáticos chinos. La idea de determinante apareció en Japón y Europa casi al mismo tiempo. En Japón, fue Takakasu Seki Kowa (1642-1708) el primero en publicar un trabajo sobre este tema. En efecto, en 1683, Seki escribió un manuscrito titulado Método de resolver los problemas disimulados, en el cual se incluyen algunos métodos matriciales expuestos en forma de tablas, al más puro estilo de los matemáticos chinos de esa época. Sin contar con un término que corresponda a la idea de determinante, Seki introduce los determinantes y ofrece métodos generales para calcularlos basados en ejemplos concretos, siendo capaz de calcular el determinante de matrices cuadradas de hasta orden 5.

La aparición de la noción de determinante en Europa fue durante ese mismo año de 1683, en una carta de Leibniz a Guillaume de l`H^opital (1661-1704) en donde le explica que cierto sistema de ecuaciones lineales tiene solución.

Leibniz usó la palabra \resultante" para ciertas sumas combinatorias de términos de un determinante y probó varios resultados sobre estos resultantes, incluyendo uno que, en esencia, es la conocida regla de Cramer. Leibniz también conocía que un determinante se puede expander usando columnas, lo que hoy se conoce como la expansión de Laplace, y estudió los sistemas de coeficientes de ecuaciones, principalmente aquellos ligados a las formas cuadráticas en donde usó los determinantes.

En los años de 1730, Colin Maclaurin (1698-1746) escribió su Tratado de algebra, el cual fue publicado en 1748, dos años después de su muerte. En este trabajo aparecen los primeros resultados sobre determinantes, se prueba la regla de Cramer para sistemas pequeños 2 £ 2 y 3 £ 3, y se indica como deducir el caso 4 £ 4. El propio Gabriel Cramer (1704-1752) anunció la regla general para sistemas n £ n en su Introduction a l'analyse des lignes courbes

algebriques, publicado en 1750. Sin embargo, esta solo aparece enunciada en un Apéndice y sin ofrecer prueba alguna de este hecho, conformándose el autor con señalar: \Uno da el valor de cada incógnita formando n fracciones de las cuales el común denominador tiene tantos términos como existan permutaciones de n cosas".

Más adelante, en 1764, Etienne Bezout (1730-1783) muestra nuevos métodos para calcular determinantes, así como también Alexandre-Theophile Vandermonde (1735-1796) en 1771 ([37]). Al respecto, en 1772, Pierre-Simon de Laplace (1749-1827) lanza una fuerte crítica a los métodos de Cramer y Bezout señalándolos de ser imprácticos y en un artículo en el que estudia las orbitas de los planetas, describe un método para resolver sistemas de ecuaciones lineales sin necesidad de calcularlos explícitamente. Además, sorprende Laplace al usar el término \resultante" para señalar lo que conocemos como determinante, pues, como apuntamos antes, este es el mismo término usado por Leibniz y, según algunos historiadores, Laplace debió desconocer los trabajos de Leibniz.

Por su parte, Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), en un artículo sobre mecánica publicado de 1773, estudia identidades para determinantes funcionales 3£3. En este trabajo aparece por primera vez la interpretación del determinante como un volumen. En efecto, se prueba que el tetraedro formado por el origen O(0; 0; 0) y los tres puntos M(x; y; z), M1(x1; y1; z1) y M2(x2; y2; z2) tiene volumen: 1

6 [z(x1y2¡y1x2)+z1(yx2¡xy2)+z2(xy1¡yx1)]. Este resultado también es atribuido a Grassmann, quien prueba que el determinante del arreglo

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

Representa el volumen del paralelepípedo determinado por los tres vectores fila.

El término “determinante" fue usado por vez primera por Gauss en sus

Disquisitiones arithmeticae publicadas en 1801, en las cuales estudia las formas cuadráticas. Gauss usó este término pues este “determina" completamente las propiedades de la forma cuadrática. Sin embargo, el concepto de determinante dado por Gauss no es el mismo que hoy conocemos. En este trabajo, Gauss considera los coeficientes de sus formas cuadráticas en arreglos rectangulares y describe la multiplicación matricial (la cual considera sólo como una composición, y no señala el concepto de algebra matricial), así como la inversa de una matriz en el contexto de los arreglos de coeficientes de formas cuadráticas. En 1815, Gauss publica su memoria sobre determinantes. Años antes, en 1812, Cauchy introduce el término “determinante" en el sentido moderno. Este trabajo de Cauchy es el más completo de la época sobre determinantes, en donde no sólo se prueban algunos resultados bien conocidos, sino también otras nuevas propiedades sobre menores y ad- juntos. Asimismo, se prueba por primera vez el teorema de la multiplicación para determinantes, det(AB) = det(A) det(B). Cauchy también probó que los valores propios de una matriz simétrica con entradas complejas son números reales e introduce la ecuación característica de una matriz cuadrada ([9]). Un hecho por demás curioso es que durante una reunión celebrada en el Instituto de Francia, Binet lee un artículo en el cual se incluye también una prueba del teorema de la multiplicación, aunque esta última es menos satisfactoria que la dada por Cauchy.

Por otra parte, Cauchy en 1826 y en el contexto de las formas cuadráticas en n variables, usó el término “tabla" para la matriz de coeficientes, introdujo los valores propios de este tipo de matrices y probó algunos resultados sobre diagonalizacion de una matriz con el propósito de convertir una forma cuadrática en una suma de cuadrados. También, Cauchy introduce la idea de matrices similares (pero no así el término) y prueba que si dos matrices son similares, entonces estas tienen la misma ecuación característica, lo cual había sido probado anteriormente por Hamilton durante el desarrollo de su teoría de cuaterniones. Asimismo, y de nuevo en el contexto de las formas cuadráticas, Cauchy prueba que cada matriz real simétrica es diagonalizable.

Jacques Sturm (1803-1855) da una generalización del problema de los valores propios en el contexto de los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. En efecto, el concepto de un valor propio aparece 80 años después, también en trabajos sobre sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, en contribuciones de D'Alembert sobre el movimiento de una cuerda con masas atadas a esta en varios puntos.

Puede afirmarse que ni Cauchy ni Sturm tuvieron una visión de la generalidad de sus ideas. Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) alrededor de 1830 y más tarde Kronecker y Weierstrass durante los años 1850 y 1860, también trabajaron con matrices, pero, de nuevo, sólo en casos especiales, y la noción de transformación lineal que comenzaba a surgir para la época.

En 1841, Jacobi público tres tratados sobre determinantes, los cuales alcanzaron singular importancia, pues en ellos aparecen por vez primera una definición algorítmica del determinante y con la novedad de que las entradas en el determinante no sean especificadas, con lo cual sus resultados son igualmente aplicables tanto al caso en que las entradas eran números como cuando estas sean funciones.

En 1841, Cayley público la primera contribución en idioma Inglés de la teoría de determinantes. En este artículo se usan dos líneas verticales sobre ambos lados del arreglo de los coeficientes de la matriz para denotar el determinante, una costumbre que se conserva hasta hoy. Cayley también probó que una matriz cuadrada A es invertible si y sólo si det(A) 6= 0.

La definición axiomática del determinante que hoy conocemos como la (única) función multilineal alternada y que toma el valor 1 en la matriz identidad se debe a Kronecker y Weierstrass. Las conferencias de Weiertrass fueron publicadas después de su muerte en 1903 en la nota Sobre la teoría de determinantes. En ese mismo año, las conferencias de Kronecker sobre determinantes fueron publicadas, también como obra póstuma, y donde se introduce el producto tensorial de espacios vectoriales. Con estas dos contribuciones la teoría moderna de determinantes comenzó a ocupar un lugar preponderante en la teoría de matrices. Uno de los primeros libros publicados en el siglo XX en donde se trata a las matrices por su propio interés es Introduction to higher algebra, escrito por Baocher en 1907. Asimismo, Turnbull y Airen escribieron influyentes libros sobre esta materia durante los años 1930, mientras que Sir

Thomas Muir (1844-1934) nos legó una descripción general de la historia de la teoría de determinantes, desde su descubrimiento por Seki y Leibniz en 1683 hasta 1920.

No podemos olvidar los aportes de Sylvester a la teoria de determinantes. Sylvester introdujo gran parte del lenguaje moderno del algebra lineal y probó la llamada Ley de inercia, aunque esta ya había sido descubierta por Jacobi. A Sylvester se debe el término matriz, como hemos mencionado, así como los primeros progresos de la teoría de auto valores de un operador lineal. En particular, Sylvester probó que los valores propios del operador lineal

Tn son las potencias n-esimas de los valores propios de T. En los cimientos del algebra lineal también destacan las contribuciones de Henrich Sherz, quien demostró algunas de las propiedades básicas de los determinantes, tales como la linealidad en cada columna:

det

a1 + b1 c1

a2 + b2 c2

= det

a1 c1

a2 c2

+ det

b1 c1

b2 c2

det

ka1 b1

ka2 b2

= k det

a1 b1

a2 b2

Entre otras. Otro aporte de Sylvester a la teoría de matrices es el concepto de nulidad de una matriz cuadrada A, denotada por n(A), introducido en 1884, como el mayor número entero positivo i tal que cada menor de A de orden

n ¡ i + 1 es cero, y probó que

m axfn(A); n(B)g · n(AB) · n(A) + n(B):

El norte de las investigaciones de Sylvester, junto con Cayley y Charles Hermite (1822-1901), siempre estuvo dirigido hacia la búsqueda de invariantes de matrices, es decir, propiedades que no cambian bajo ciertas transformaciones, siendo la nulidad uno de estos invariantes.

7 Teorema de Cayley-Hamilton

El que cada matriz cuadrada con entradas en un cuerpo (conmutativo) arbitrario K satisface su propia ecuación característica, introducida por Cauchy como antes mencionamos, se conoce hoy día como el teorema de Cayley-Hamilton, es decir, si A es una tal matriz cuadrada, I es la matriz identidad de igual orden que A (y con entradas en K) y p(x) = det(xI ¡ A) 2 K[x] (llamado el polinomio característico de A en K[x]), entonces p(A) = 0.

Este teorema de Cayley-Hamilton es un resultado medular para la teoría de matrices y fue probado originalmente por Cayley para matrices 2£2, como mencionamos antes, y posteriormente por Hamilton para matrices 3 £ 3.

En 1878, Frobenius publica una de las más valiosas contribuciones a la teoría de matrices titulada Sobre sustituciones lineales y formas bilineales, en la cual trabaja con coeficientes de formas cuadráticas sin usar el término matriz. Sin embargo, prueba importantes resultados sobre matrices canónicas como representantes de clases de equivalencia de matrices y cita a Kronecker y Weiertrass por haber considerado casos especiales de este resultado en

1874 y 1868, respectivamente. Frobenius también prueba el resultado general de que cada matriz cuadrada satisface su ecuación característica. A pesar del hecho que Cayley y Hamilton sólo probaron casos pequeños del teorema de Cayley-Hamilton, Frobenius generosamente atribuyo este resultado a Cayley, a pesar de que fuese el mismo quien probó el teorema en su forma general. Años más tarde, en 1896, Frobenius habría de conocer la Memoir on the theory of matrices de Cayley de 1858 y a partir de entonces comienza a usar el término matriz.

Se debe destacar igualmente la influencia de Frobenius sobre el desarrollo de la noción de transformación lineal, la cual venia evolucionando desde el siglo XVIII con los trabajos de Cauchy, Weierstrass y Kronecker, entre otros, y que adoptaría su forma actual en 1918 de la mano del matemático alemán Hermann Weyl (1885-1955). A Frobenius también debemos las nociones de rango de una matriz (la cual usa en su trabajo sobre formas canónicas, así como la definición de matrices ortogonales), equivalencia y congruencia de matrices.

En tal sentido, Frobenius probó que si A y B son matrices semejantes y f es un polinomio con coeficientes matriciales (y del mismo orden de A y B), entonces las matrices f(A) y f(B) también lo son.

A pesar de salirse del periodo establecido para este trabajo, es oportuno mencionar que, recientemente, JenÄo Szigeti ([33]) tiene probada una identidad para matrices sobre un anillo con identidad arbitrario, a partir de la cual se deduce el teorema de Cayley-Hamilton para matrices sobre un anillo conmutativo con identidad y de característica cero.

8 Conclusión

Los conceptos y métodos del algebra lineal han contribuido decisivamente al desarrollo de muchas áreas del conocimiento tanto dentro como fuera de la matemática, entre las que podemos mencionar: la teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales, la teoría de códigos y criptografía, la teoría de decisiones, robótica, astronomía y programación lineal. No es exagerado afirmar que sus ideas y resultados aparecen en casi todo desarrollo humano.

Modernamente, las matrices, como los polinomios o las series de potencias formales, bien pueden considerarse como arreglos de datos de algún tipo dado, donde el álgebra que se establezca sobre estas determina la manera en que estos datos pueden combinarse para generar nueva información. La formulación de un problema concreto en términos del algebra lineal ha sido, y sin duda lo seguiría siendo, uno de los métodos más efectivos para hallar su solución. Herramientas tales como el determinante, las formas canónicas y las transformaciones lineales, entre muchas otras, contribuyen decisivamente a facilitar esta labor.

Es por ello que se justifica el estudio de estos temas en la mayoría de las carreras tanto profesionales como técnicas.

¿Qué es un vector y menciona sus componentes?

Definición de vectores

Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son:

Origen

O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.

Módulo

Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.

Dirección

Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.

Sentido

Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.

Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud.